black-box优化——第一篇：基础BBO算法

发布时间：2024-05-06 05:46:13　浏览次数：

本篇博客先介绍一些 naive 的方法来解决 BBO 问题，这样可以让大家了解到为什么DFO在实际中，如此受到欢迎。

两个缩写：
derivative free optimization (DFO) ：无导数优化
black-box optimization (BBO) ：黑箱优化
两者的两点区别：
（1）对于某些优化问题，可能存在导数，但获取或估计导数在计算上可能会很难。此类问题最好通过DFO解决，而不是BBO解决；
（2）BBO还包括研究用于解决问题的启发式方法或特用的方法；

优化问题：
$$\begin{array}{r}min\{f(x),x\in \Omega \}\end{array}$$
即：优化目标是$f(x)$，约束条件是$x\in \Omega$。设$S$是闭集$\Omega$的可数紧集，则ES算法求解最优解的算法流程为：

看完流程可知，上述算法的实质就是“遍历”。。。。。

遍历所有解寻找最大的那个，因此，叫做 Exhaustive Search，而此时的优化求解的确没有用到导数，满足了DFO的要求。文中假设ES算法可以无休止地运行下去，故该算法的收敛性可得到证明，这里只给出收敛性成立的定理，不给出证明步骤，定理如下：

顺便提一句，在$R^n$中寻找一个可数的集合$S$，那集合$S$的规模可不小，准确地说是无穷个元素(因为他有可数个元素)，也由此可知是没有办法在有限次叠代后终止ES算法的，因此ES算法不具备实用性，只存在于理论中。

上一节的ES算法对$\Omega$没有要求，但当$\Omega$是有界的集合时，则可使用本节的GE算法。

该算法的算法流程是：

看完流程可知，上述算法的实质就是“抽样”的思想，即：等距切分集合$\Omega$为$p$份后，再遍历。。。。。。

这样一来相比ES而言，至少是可行的，不再只是理论上可行而实际上无法求解的了，但是GS算法仍然需要庞大的计算搜索工作，实际中虽然可行，但是难以采用。最后，GS算法的收敛性证明及收敛性定理都省略，可参考原书。

CS算法是GS的改进，该算法的思想略有类似于梯度下降，其算法流程如下：

如果提供了约束集$\Omega$，则只要违反该约束，就可以通过将目标函数值设置为$+\infty$再应用CS算法即可。

下图为CS算法再二维平面搜索过程的叠代实例，初始点为(2,2)，初始步长为1，搜索方向为四个方向。第一次叠代搜索成功，寻找并得到了比当前值小的一组解。第二次叠代搜索失败，因此，步长减半，继续搜索。

对于n维问题，算法的每次迭代都精确地探索2n个方向。但是叠代需要有一个判定迭代终止的条件，这里的条件可以是步长小于某数值，或者叠代超过N次，或运行到明天早上8点停止等等。

说明：
（1）CS算法得到的是局部最优解，GS算法得到的是全局最优解；
（2）CS算法的收敛性问题：

（3）（待确定？） 根据上述收敛性可知，若目标函数是不可微函数或$f(x;d)\ge 0$时(尤其是是凸函数时，则任意点处都$\ge 0$)，此时CS算法可能会失败；

可采用“拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling，LHS)”的方式，选取多组初始点。在统计抽样中，拉丁方阵是指每行、每列仅包含一个样本的方阵。拉丁超立方则是拉丁方阵在多维中的推广，每个与轴垂直的超平面最多含有一个样本。假设有N个变量（维度），可以将每个变量分为M个概率相同的区间。此时，可以选取M个满足拉丁超立方条件的样本点。需要注意的是，拉丁超立方抽样要求每个变量的分区数量M相同。不过，该方法并不要求当变量增加时样本数M同样增加。

LHS算法流程如下：

抽取案例如下图：

LHS的方式可以作为许多算法选取初始点的方案。

下表列出了后文待介绍的的高水平BBO算法：

（遗传算法等启发式类型的，我们不予介绍了）